ВРЕМЕНА · МАТЕМАТИКА
Разбирайте один новый приём в неделю, тренируйтесь понемногу и считайте увереннее.
Страница составлена по книге Я. И. Перельмана «Быстрый счёт». Материал адаптирован для проекта «Времена» и дополнен заданиями для практики.
Постепенно выучите произведения чисел от 11 до 19 на числа от 2 до 9. Возвращайтесь к таблице в течение всего года. Изучайте таблицу параллельно с приёмами счёта; тренировочных заданий к ней здесь нет.
Строки 11–13
| × | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 |
| 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 |
| 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 |
Строки 14–16
| × | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 |
| 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 |
| 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 |
Строки 17–19
| × | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 |
| 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 |
| 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 |
Выберите приём, чтобы перейти к правилу, разобранному примеру и шести заданиям для устной практики.
Каждую неделю осваивайте один новый приём. Практикуйтесь по 3–5 минут в день и возвращайтесь к уже освоенным способам.
В каждом блоке: краткое правило, разобранный пример с полным ходом вычислений и шесть заданий для устной практики. Решите задания устно или запишите ответы в тетрадь, затем сверьтесь с раскрывающимся блоком ответов или отдельным PDF.
Разделите число на десятки и единицы. Умножьте каждую часть и сложите результаты. Для трёхзначного числа можно выделить сотни, десятки и единицы.
27 × 8 = 20 × 8 + 7 × 8 = 160 + 56 = 216.
147 × 8 = 100 × 8 + 40 × 8 + 7 × 8 = 800 + 320 + 56 = 1176.
1) 92; 2) 252; 3) 288; 4) 456; 5) 372; 6) 864.
Представьте множитель произведением удобных чисел и умножайте последовательно. Например, умножить на 6 — значит умножить на 2, затем на 3.
225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3 = 1350.
125 × 12 = 125 × 4 × 3 = 500 × 3 = 1500.
1) 210; 2) 1000; 3) 900; 4) 630; 5) 450; 6) 3600.
Если первым стоит однозначное число, поменяйте множители местами. Затем разложите двузначное число на десятки и единицы. От перестановки множителей произведение не меняется.
6 × 28 = 28 × 6 = 20 × 6 + 8 × 6 = 120 + 48 = 168.
1) 72; 2) 148; 3) 252; 4) 392; 5) 512; 6) 657.
Разложите один из множителей на десятки и единицы. Найдите два произведения и сложите их. Выбирайте тот вариант разложения, с которым легче считать.
29 × 12 = 29 × 10 + 29 × 2 = 290 + 58 = 348.
41 × 16 = 16 × 40 + 16 = 640 + 16 = 656.
1) 288; 2) 416; 3) 903; 4) 364; 5) 576; 6) 752.
Если один множитель делится на 2, разделите его пополам, а другой удвойте. Произведение сохранится. Так можно получить более удобное вычисление.
45 × 14 = 90 × 7 = 630.
25 × 32 = 50 × 16 = 100 × 8 = 800.
1) 630; 2) 720; 3) 700; 4) 900; 5) 3000; 6) 720.
Чтобы умножить число на 4, удвойте его дважды: сначала умножьте на 2, затем ещё раз на 2.
112 × 4 = 224 × 2 = 448.
335 × 4 = 670 × 2 = 1340.
1) 96; 2) 148; 3) 272; 4) 500; 5) 984; 6) 1500.
Чтобы умножить число на 8, удвойте его трижды. Удерживайте в памяти только результат очередного удвоения.
217 × 8 = 434 × 4 = 868 × 2 = 1736.
1) 128; 2) 216; 3) 384; 4) 1000; 5) 1648; 6) 2520.
Разделите число пополам, затем ещё раз пополам. Последовательное деление на 2 и на 2 заменяет деление на 4.
236 : 4 = 118 : 2 = 59.
78 : 4 = 39 : 2 = 19,5.
1) 13; 2) 24; 3) 37; 4) 59; 5) 19,5; 6) 87,5.
Разделите число пополам трижды. Если появляется половина единицы, запишите её как 0,5 или ½.
464 : 8 = 232 : 4 = 116 : 2 = 58.
516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 64,5.
1) 9; 2) 17; 3) 31; 4) 58; 5) 64,5; 6) 97,5.
Умножьте число на 10 и разделите пополам. Если исходное число чётное, удобно сначала разделить его пополам, а затем умножить на 10.
243 × 5 = 2430 : 2 = 1215.
74 × 5 = 37 × 10 = 370.
1) 130; 2) 235; 3) 420; 4) 675; 5) 1040; 6) 1835.
Умножьте число на 100 и разделите на 4. Для целого числа можно сначала разделить его на 4 с остатком: к частному припишите 00 при остатке 0, 25 при остатке 1, 50 при остатке 2, 75 при остатке 3.
72 × 25 = 7200 : 4 = 1800.
27 : 4 = 6 (остаток 3), поэтому 27 × 25 = 675.
1) 400; 2) 700; 3) 825; 4) 1150; 5) 1475; 6) 3100.
Прибавьте к числу его половину: 1,5 = 1 + 0,5. Для нечётного целого числа половина будет дробной.
34 × 1,5 = 34 + 17 = 51.
23 × 1,5 = 23 + 11,5 = 34,5.
1) 27; 2) 39; 3) 52,5; 4) 72; 5) 85,5; 6) 186.
Прибавьте к числу его четверть: 1,25 = 1 + 0,25. Чтобы найти четверть, разделите число на 4.
48 × 1,25 = 48 + 12 = 60.
58 × 1,25 = 58 + 14,5 = 72,5.
1) 20; 2) 35; 3) 55; 4) 72,5; 5) 90; 6) 157,5.
К удвоенному числу прибавьте половину исходного числа. Другой вариант: умножьте число на 5 и разделите результат пополам.
39 × 2,5 = 78 + 19,5 = 97,5.
18 × 2,5 = 90 : 2 = 45.
1) 35; 2) 70; 3) 92,5; 4) 140; 5) 207,5; 6) 310.
Найдите три четверти числа: вычтите из него его четверть. Можно также умножить число на 1,5 и разделить результат пополам.
48 × 0,75 = 48 − 12 = 36.
30 × 0,75 = 45 : 2 = 22,5.
1) 12; 2) 21; 3) 30; 4) 43,5; 5) 63; 6) 94,5.
Умножьте число на 10 и прибавьте половину полученного результата. Это то же самое, что сначала умножить исходное число на 1,5, затем на 10.
45 × 15 = 450 + 225 = 675.
18 × 15 = 27 × 10 = 270.
1) 180; 2) 360; 3) 555; 4) 690; 5) 1020; 6) 1875.
Умножьте число на 100 и прибавьте четверть полученного результата: 125 = 100 + 25.
26 × 125 = 2600 + 650 = 3250.
47 × 125 = 4700 + 1175 = 5875.
1) 1500; 2) 3000; 3) 4500; 4) 5875; 5) 7250; 6) 12000.
Умножьте число на 100 и вычтите четверть полученного результата: 75 = 100 − 25.
18 × 75 = 1800 − 450 = 1350.
32 × 75 = 3200 − 800 = 2400.
1) 900; 2) 1800; 3) 2700; 4) 3600; 5) 4275; 6) 6450.
Умножьте число на 10 и вычтите исходное число: 9 = 10 − 1.
62 × 9 = 620 − 62 = 558.
73 × 9 = 730 − 73 = 657.
1) 216; 2) 333; 3) 522; 4) 684; 5) 1125; 6) 2214.
Умножьте число на 10 и прибавьте исходное число: 11 = 10 + 1.
87 × 11 = 870 + 87 = 957.
124 × 11 = 1240 + 124 = 1364.
1) 253; 2) 506; 3) 858; 4) 1045; 5) 1364; 6) 3377.
Удвойте число и разделите результат на 10. В записи десятичного числа это означает перенести запятую на один знак влево.
68 : 5 = 136 : 10 = 13,6.
237 : 5 = 474 : 10 = 47,4.
1) 9; 2) 13,6; 3) 25; 4) 47,4; 5) 81,2; 6) 15,8.
Удвойте число и разделите на 3: деление на 1,5 равносильно умножению на 2/3. Если дробь бесконечная, оставьте точный ответ обыкновенной дробью.
36 : 1,5 = 72 : 3 = 24.
53 : 1,5 = 106 : 3 = 35 ⅓.
1) 12; 2) 18; 3) 28; 4) 50; 5) 35 ⅓; 6) 69 ⅓.
Удвойте число и разделите на 30. Это удобно сделать в два действия: разделить на 3, затем на 10.
240 : 15 = 480 : 30 = 160 : 10 = 16.
462 : 15 = 924 : 30 = 308 : 10 = 30,8.
1) 6; 2) 9; 3) 16; 4) 30,8; 5) 35; 6) 49,2.
Уберите последнюю цифру 5. Умножьте оставшееся число на следующее за ним целое число и припишите справа 25. Квадрат числа — это его произведение на себя.
852 переписываем: 8 × 9 = 72; приписываем 25 → 7225.
1452 переписываем: 14 × 15 = 210; приписываем 25 → 21025.
1) 225; 2) 1225; 3) 4225; 4) 9025; 5) 13225; 6) 42025.
Временно уберите запятую и найдите квадрат полученного целого числа предыдущим приёмом. В ответе отделите справа вдвое больше десятичных знаков, чем было в исходном числе. При необходимости допишите нули слева.
8,52 переписываем: 852 = 7225 → 72,25.
0,352 переписываем: 352 = 1225 → 0,1225.
1) 2,25; 2) 6,25; 3) 42,25; 4) 156,25; 5) 0,0225; 6) 0,2025.
Для числа n + ½ умножьте целую часть n на n + 1 и прибавьте ¼. Это тот же приём, что для квадратов чисел с последней десятичной цифрой 5.
(8½)2 = 8 × 9 + ¼ = 72¼.
(14½)2 = 14 × 15 + ¼ = 210¼.
1) 12,25; 2) 30,25; 3) 56,25; 4) 110,25; 5) 156,25; 6) 420,25.
Представьте число как a + b или a − b, где a легко возвести в квадрат. Используйте формулы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a − b)2 = a2 − 2ab + b2. Средний член 2ab пропускать нельзя.
412 = (40 + 1)2 = 1600 + 80 + 1 = 1681.
692 = (70 − 1)2 = 4900 − 140 + 1 = 4761.
1) 441; 2) 841; 3) 1521; 4) 2601; 5) 4096; 6) 5776.
Если числа одинаково удалены от удобной середины a, представьте их как a − b и a + b. Тогда их произведение равно a2 − b2.
52 × 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 2500 − 4 = 2496.
53 × 57 = (55 − 2)(55 + 2) = 3025 − 4 = 3021.
1) 399; 2) 896; 3) 2491; 4) 3599; 5) 4896; 6) 7224.
Примените ту же формулу к дробям: (a − b)(a + b) = a2 − b2. Найдите середину между множителями и расстояние от неё до каждого множителя.
7,5 × 6,5 = (7 + 0,5)(7 − 0,5) = 49 − 0,25 = 48,75.
11,75 × 12,25 = 144 − 0,0625 = 143,9375.
1) 24,75; 2) 63,75; 3) 99,75; 4) 15,9375; 5) 35,9375; 6) 143,9375.
Запомните равенство 37 × 3 = 111. Если второй множитель равен 3 × k, найдите 111 × k.
37 × 12 = 37 × 3 × 4 = 111 × 4 = 444.
37 × 21 = 111 × 7 = 777.
1) 222; 2) 333; 3) 555; 4) 666; 5) 888; 6) 999.
Запомните: 7 × 11 × 13 = 1001. Поэтому 77 × 13, 91 × 11 и 143 × 7 равны 1001. Если один из множителей увеличен в несколько раз, во столько же раз увеличится результат.
77 × 26 = 77 × 13 × 2 = 2002.
91 × 33 = 91 × 11 × 3 = 3003.
1) 1001; 2) 2002; 3) 3003; 4) 4004; 5) 5005; 6) 6006.
Сначала решите самостоятельно, затем проверьте результат. Номер задания совпадает с брошюрой и разделом «Практика».
1) 92; 2) 252; 3) 288; 4) 456; 5) 372; 6) 864.
1) 210; 2) 1000; 3) 900; 4) 630; 5) 450; 6) 3600.
1) 72; 2) 148; 3) 252; 4) 392; 5) 512; 6) 657.
1) 288; 2) 416; 3) 903; 4) 364; 5) 576; 6) 752.
1) 630; 2) 720; 3) 700; 4) 900; 5) 3000; 6) 720.
1) 96; 2) 148; 3) 272; 4) 500; 5) 984; 6) 1500.
1) 128; 2) 216; 3) 384; 4) 1000; 5) 1648; 6) 2520.
1) 13; 2) 24; 3) 37; 4) 59; 5) 19,5; 6) 87,5.
1) 9; 2) 17; 3) 31; 4) 58; 5) 64,5; 6) 97,5.
1) 130; 2) 235; 3) 420; 4) 675; 5) 1040; 6) 1835.
1) 400; 2) 700; 3) 825; 4) 1150; 5) 1475; 6) 3100.
1) 27; 2) 39; 3) 52,5; 4) 72; 5) 85,5; 6) 186.
1) 20; 2) 35; 3) 55; 4) 72,5; 5) 90; 6) 157,5.
1) 35; 2) 70; 3) 92,5; 4) 140; 5) 207,5; 6) 310.
1) 12; 2) 21; 3) 30; 4) 43,5; 5) 63; 6) 94,5.
1) 180; 2) 360; 3) 555; 4) 690; 5) 1020; 6) 1875.
1) 1500; 2) 3000; 3) 4500; 4) 5875; 5) 7250; 6) 12000.
1) 900; 2) 1800; 3) 2700; 4) 3600; 5) 4275; 6) 6450.
1) 216; 2) 333; 3) 522; 4) 684; 5) 1125; 6) 2214.
1) 253; 2) 506; 3) 858; 4) 1045; 5) 1364; 6) 3377.
1) 9; 2) 13,6; 3) 25; 4) 47,4; 5) 81,2; 6) 15,8.
1) 12; 2) 18; 3) 28; 4) 50; 5) 35 ⅓; 6) 69 ⅓.
1) 6; 2) 9; 3) 16; 4) 30,8; 5) 35; 6) 49,2.
1) 225; 2) 1225; 3) 4225; 4) 9025; 5) 13225; 6) 42025.
1) 2,25; 2) 6,25; 3) 42,25; 4) 156,25; 5) 0,0225; 6) 0,2025.
1) 12,25; 2) 30,25; 3) 56,25; 4) 110,25; 5) 156,25; 6) 420,25.
1) 441; 2) 841; 3) 1521; 4) 2601; 5) 4096; 6) 5776.
1) 399; 2) 896; 3) 2491; 4) 3599; 5) 4896; 6) 7224.
1) 24,75; 2) 63,75; 3) 99,75; 4) 15,9375; 5) 35,9375; 6) 143,9375.
1) 222; 2) 333; 3) 555; 4) 666; 5) 888; 6) 999.
1) 1001; 2) 2002; 3) 3003; 4) 4004; 5) 5005; 6) 6006.
В брошюре — таблица умножения, 31 приём и 186 заданий. Ответы — в отдельном файле.